如圖,多面體EF-ABCD中,ABCD是梯形,AB∥CD,ACFE是矩形,面ACFE⊥面ABCD,AD=DC=CB=AE=a,∠ACB=
(1)若M是棱EF上一點,AM∥平面BDF,求EM;
(2)求二面角B-EF-D的平面角的余弦值.

【答案】分析:(1)連接BD,記AC∩BD=O,在梯形ABCD中,由題意得∠ACD=∠CAB=∠DAC,由角之間的關系可得∠DAC=,從而∠CBO=,又∠ACB=,CB=a,所以CO=,由AM∥平面BDF得AM∥FO.
(2)建立空間直角坐標系,利用向量的運算求出平面DEF的一個法向量為,平面BEF的一個法向量為,進而由兩個法向量求出二面角余弦值的大。
解答:解(1)連接BD,記AC∩BD=O,在梯形ABCD中,
因為AD=DC=CB=a,AB∥CD,
所以∠ACD=∠CAB=∠DAC,
π=∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+ACB=3∠DAC+,∠DAC=,從而∠CBO=,
又因為∠ACB=,CB=a,所以CO=,
連接FO,由AM∥平面BDF得AM∥FO,
因為ACFE是矩形,所以EM=CO=
(2)以C為原點,CA、CB、CF分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,
則C(0,0,0),,B(0,a,0),,F(xiàn)(0,0,a),
設平面DEF的一個法向量為,
則有,即,
解得,
同理可得平面BEF的一個法向量為
觀察知二面角B-EF-D的平面角為銳角,所以其余弦值為
點評:解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征,進而便于幾何體的線面關系以及建立坐標系利用向量解決空間角與空間距離的問題
練習冊系列答案
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π2

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