Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx（a，b為實數(shù)）．
（I）設(shè)a≠0，當(dāng)a+b=0時．求過點P（-1，0）且與曲線y=f（x）相切的直線方程；
（Ⅱ）設(shè)b＞0，當(dāng)a≤0且x∈[0，1]時，有f（x）∈[0，1），求b的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a≠0，a+b=0，∴b=-a，則f（x）=ax³-ax，
∴f'（x）=3ax²-a，設(shè)切點T（x₀，y₀），則f'（x₀）=k_PT，
即：切線方程為，又∵切線過點P（-1，0），
∴，解得：x₀=-1或．
當(dāng)x₀=-1時，f'（x₀）=2a，切線方程為y=2ax+2a，
當(dāng)時，，切線方程為．
（Ⅱ） ①當(dāng)a=0，b＞0時，f（x）=bx在[0，1]上遞增，∴b≤1．
②當(dāng)a＜0，b＞0時，令f'（x）=3ax²+b=0，得，f（x）在[0，]上遞增，
（ i ） 若時，f（x）在[0，1]上遞增，
∵f（0）=0，
∴，即：，由線性規(guī)劃知：．
（ ii ） 若時，f（x）在[0，]上遞增，在[，1]上遞減，
又f（0）=0，由題意得：，
由得，，
即：，得4b³≤-27a．
又a+b≥0，∴a≥-b，
∴4b³≤27b，得．
當(dāng)時，，滿足．
綜上所述：b的最大值為．
分析：（I）設(shè)切點T（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得f'（x₀）=k_PT，利用點斜式得到切線方程，把點P（-1，0）代入即可得到x₀，進(jìn)而即可得到切線方程；
（II）通過對a，b分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得出值域即可．
點評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．