Question

（2013•浙江二模）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

1

2

，前n項(xiàng)和為S_n，且-a₂，a₃，a₁成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）求數(shù)列{nS_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用等差中項(xiàng)可得a₁-a₂=2a₃，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到a₁及q；
（II）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到S_n，再利用“錯(cuò)位相減法”即可得到數(shù)列{nS_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），由題有a₁-a₂=2a₃，且a1=

1

2

，
∴a1-a1q=2a1q2，即有2q²+q-1=0，解得q=-1（舍去）或q=

1

2

，
∴an=

1

2n

；
（Ⅱ）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)、公比都為

1

2

的等比數(shù)列，故Sn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，nSn=n-

n

2n

．
則數(shù)列{nS_n}的前n項(xiàng)和 Tn=(1+2+…+n)-(

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

)，

Tn

2

=

1

2

(1+2+…+n)-(

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

)．
前兩式相減，得  

Tn

2

=

1

2

(1+2+…+n)-(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)+

n

2n+1

=

n(n+1)

4

-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

n

2n+1

，
即Tn=

n(n+1)

2

+

1

2n-1

+

n

2n

-2．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差中項(xiàng)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”是解題的關(guān)鍵．