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如圖，橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，點A（4，m）在橢圓E上，且，點D（2，0）到直線F1A的距離．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設點P位橢圓E上的任意一點，求的取值范圍．

【答案】分析：（1）先根據題意可得c的值和F1、F2的坐標，又因為可表示出AF2、AF1，再由sin∠AF1F2=可得到a，b的關系式，最后根據a2=b2+c2可求出a，b的值，確定橢圓方程．
（2）先設點p的坐標，根據其在橢圓上可得到其橫縱坐標的關系（用x表示y），然后表示出向量后進行數量積運算得到關于x的二次函數，再由x的取值范圍可確定的取值范圍．
解答：解：（1）由題意知，c=4，F1（-4，0），F2（4，0），
∵sin∠AF1F2=，DH=，DF1=6，
又∵=0，
∴AF2=，AF1=2a-，
∴，則，
由a2=b2+c2，得
∴b2=48，a2=64∴橢圓方程為．

（2）設點P（x，y），則，即
∵，
∴==
∵-8≤x≤8，∴的取值范圍是[36，72]．
點評：本題主要考查橢圓的基本性質和向量的數量積運算．屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，

（）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在直角坐標系中，已知橢圓的離心率e＝，左右兩個焦分別為．過右焦點且與軸垂直的

直線與橢圓相交M、N兩點，且|MN|=1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 設橢圓的左頂點為A,下頂點為B，動點P滿足，

（）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓上.

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C： 的離心率，左焦

點為右焦點為，短軸兩個端點為.與軸不垂直的直線與

橢圓C交于不同的兩點、，記直線、的斜率分別為、，且．
（1）求橢圓 的方程；
（2）求證直線 與軸相交于定點，并求出定點坐標.

（3）當弦 的中點落在內（包括邊界）時，求直線的斜率的取值。

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省湛江二中高三（上）第一次月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

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