Question

如圖，AB是沿太湖南北方向道路，P為太湖中觀光島嶼，Q為停車(chē)場(chǎng)，PQ=5.2 km．某旅游團(tuán)游覽完島嶼后，乘游船回停車(chē)場(chǎng)Q，已知游船以km/h的速度沿方位角Q的方向行駛，．游船離開(kāi)觀光島嶼3分鐘后，因事耽擱沒(méi)有來(lái)得及登上游船的游客甲為了及時(shí)趕到停車(chē)地點(diǎn)Q與旅游團(tuán)會(huì)合，決定立即租用小船先到達(dá)湖濱大道M處，然后乘出租汽車(chē)到點(diǎn)Q（設(shè)游客甲到達(dá)湖濱大道后能立即乘到出租車(chē)）．假設(shè)游客甲乘小船行駛的方向是方位角，出租汽車(chē)的速度為66km/h．

   （1）設(shè)，問(wèn)小船的速度為多少km/h時(shí)，游客甲才能和游船同時(shí)到達(dá)點(diǎn)Q；

   （2）設(shè)小船速度為10km/h，請(qǐng)你替該游客設(shè)計(jì)小船行駛的方位角，當(dāng)角余弦值的大小是多少時(shí)，游客甲能按計(jì)劃以最短時(shí)間到達(dá)Q.

Answer 1

解：（1） 如圖，作，為垂足．

，

在△中，                

PN=PQsinQ（km），  

QN=PQcosQ=（km）．

在△中，

（km） ．                                       

設(shè)游船從P到Q所用時(shí)間為h，游客甲從經(jīng)到所用時(shí)間為h，

小船的速度為 km/h，則

（h），

（h）． 

   由已知得：，，

∴．

∴小船的速度為km/h時(shí)，游客甲才能和游船同時(shí)到達(dá)．

（2）在△中，

（km），（km）．

∴（km）．    

∴

＝．               

∵，

∴令得：．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

∵在上是減函數(shù)，

∴當(dāng)方位角滿足時(shí)，t最小，

即游客甲能按計(jì)劃以最短時(shí)間到達(dá)．