已知函數(shù)f(x)的定義域為[-2,+∞),且f(4)=f(-2)=1,f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示.則平面區(qū)域
x≥0
y≥0
f(2x+y)≤1
圍成的面積等于( 。
分析:利用導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)性;利用函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式f(2x+y)≤1;畫出不等式組表示的平面區(qū)域;利用三角形的面積公式求出區(qū)域的面積.
解答:解:由導(dǎo)函數(shù)的圖象得到f(x)在[-2,0]遞減;在[0,+∞)遞增
∵f(4)=f(-2)=1
∴f(2x+y)≤1?-2≤2x+y≤4
x≥0
y≥0
f(2x+y)≤1
?
x≥0
y≥0
-2≤2x+y≤4
表示的平面區(qū)域如下

所以平面區(qū)域的面積為
1
2
×2×4=4

故選B
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,以及線性規(guī)劃問題的綜合應(yīng)用,屬于高檔題.解決時要注意數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標(biāo)為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法正確的有(  )個.
①已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則對任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數(shù)f(x)圖象在點P處的切線存在,則函數(shù)f(x)在點P處的導(dǎo)數(shù)存在;反之若函數(shù)f(x)在點P處的導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)f(x)圖象在點P處的切線存在.
③因為3>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數(shù)單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關(guān).
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,則實數(shù)p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對于任意非零實數(shù)x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(ⅰ)證明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案