Question

已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x，求當(dāng)x∈[-3，-1]時(shí)，f（x）的解析式和f（-4.5）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性將區(qū)間[-3，-1]上的函數(shù)轉(zhuǎn)化為[-1，1]的函數(shù)，再利用已知條件求出f（x）在[-3，-1]上的解析式，利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性將f（-4.5）轉(zhuǎn)化為[-1，1]上的函數(shù)值，再利用已知條件求出f（-4.5）的值，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（1+x）=f（1-x）．
當(dāng)x∈[-3，-1]時(shí)，2+x∈[-1，1]，
f（x）=-f（-x）=-f[1+（-1-x）]=-f[1-（-1-x）]=-f（2+x）=-（2+x）=-x-2．
∴當(dāng)x∈[-3，-1]時(shí)，f（x）的解析式為f（x）=-x-2．
∴f（-4.5）=-f（4.5）=-f（1+3.5）=-f（1-3.5）=-f（-2.5）=f（2.5）=f（1+1.5）=f（1-1.5）=f（-0.5）=-0.5．
∴f（-4.5）=-0.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和解析式，本題計(jì)算量適中，有一定的思維難度，屬于中檔題．