已知,g(x)=ex-e2-x+f(x),
(1)若f(x)在處取得極值,試求c的值和f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)如圖所示,若函數(shù)y=f(x)的圖象在[a,b]連續(xù)光滑,試猜想拉格朗日中值定理:即一定存在c∈(a,b),使得,利用這條性質(zhì)證明:函數(shù)y=g(x)圖象上任意兩點的連線斜率不小于2e-4.

【答案】分析:(1)先求f′(x)由,求得c,再用f′(x)>0求得增區(qū)間.
(2)先化簡g(x)=ex-e2-x+f(x)═,則g′(x)=由猜想知對于函數(shù)y=g(x)圖象上任意兩點A、B,在A、B之間一定存在一點C(c,g′(c)),有g(shù)′(x)≥2e-4.
解答:解:(1)f′(x)=2x2-4x+c,(1分)
依題意,有,即.(2分)
,f′(x)=2x2-4x-2.
令f′(x)>0,得,(5分)
從而f(x)的單調(diào)增區(qū)間為:;(6分)
(2);g(x)=ex-e2-x+f(x)═,(7分)
g′(x)=ex+e2-x+2x2-4x-2(9分)=(12分)
由(2)知,對于函數(shù)y=g(x)圖象上任意兩點A、B,在A、B之間一定存在一點C(c,g′(c)),使得g′(c)=KAB,又g′(x)≥2e-4,故有KAB=g′(c)≥2e-4,證畢.(14分)
點評:本題主要考查導(dǎo)數(shù)問題一是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性二是考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
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已知:g(x)=
ex,x≤0
lnx,x>0
,則g(g(-
1
3
))=
 

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