設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,且f′(x)=2x+2.
(1)求y=f(x)的表達(dá)式;
(2)求y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積;
(3)求
1
-1
4-f(x)
dx
=
(只需直接填入結(jié)果).
分析:(1)依題意,f′(x)=2x+2可求得a=1,b=2,△=b2-4ac=0,可求得c=1;
(2)由定積分的幾何意義可求得y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積S=
0
-1
(x2+2x+1)dx
(3)令y=
4-(x+1)2
(y≥0),當(dāng)-1≤x≤1時(shí),可求得
1
4
圓的面積即為所求.
解答:解:(1)∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
∴f′(x)=2ax+b,
∵f′(x)=2x+2,
∴a=1,b=2,
又方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,
∴x2+2x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,
∴4-4c=0,c=1.
∴f(x)=x2+2x+1.
(2)設(shè)y=f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為S,
則S=
0
-1
(x2+2x+1)dx
=(
x3
3
+x2+x)
|
0
-1

=
1
3
-1+1
=
1
3

(3)令y=
4-(x+1)2
(y≥0),則(x+1)2+y2=4(y≥0),
1
-1
4-f(x)
dx為上半圓的面積,
1
-1
4-f(x)
dx=
1
2
π×22
=2π.
故答案為:2π.
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法,突出考查定積分的應(yīng)用,根據(jù)y=
4-(x+1)2
(y≥0)的幾何意義求
1
-1
4-f(x)
dx
是關(guān)鍵,也是難點(diǎn),屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

13、設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對于任意-1≤x≤1,有f(x)|≤1;求證|f(2)|≤7.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于函數(shù)f(x),其定義域?yàn)镈,若任取x1、x2∈D,且x1≠x2,若f(
x1+x2
2
)>
1
2
[f(x1)+f(x2)],則稱f(x)為定義域上的凸函數(shù).
(1)設(shè)f(x)=ax2(a>0),試判斷f(x)是否為其定義域上的凸函數(shù),并說明原因;
(2)若函數(shù)f(x)=㏒ax(a>0,且a≠1)為其定義域上的凸函數(shù),試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=ax2+x-a,g(x)=2ax+5-3a
(1)若f(x)在x∈[0,1]上的最大值是
54
,求a的值;
(2)若對于任意x1∈[0,1],總存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立,求a的取值范圍;
(3)若f(x)=g(x)在x∈[0,1]上有解,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對于給定正數(shù)k,定fk(x)=
f(x)   (f(x)≤k)
k    (f(x)>k)
,設(shè)f(x)=ax2-2ax-a2+5a+2,對任意x∈R和任意a∈(-∞,0)恒有fk(x)=
f(x)
,則(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•閔行區(qū)二模)設(shè)f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,則f(2)的最大值為
14
14

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