Question

一個多面體的直觀圖、正視圖、側視圖、俯視圖如圖所示，M、N分別為A₁B、B₁C₁的中點.

(1)求證：MN//平面ACC₁A₁；
(2)求證：MN^平面A₁BC.

Answer 1

(1)見解析；(2)見解析

試題分析：先由三視圖還原幾何體的直觀圖中線段長度，（1）利用直線與平面平行的判定定理，在平面內找一直線AC₁，由三角形中位線證明MN//AC₁，用直線與平面平行的判定定理得到結論；（2）通過證明平面內兩相交直線同時垂直MN，由直線與平面垂直的判定定理得證.
試題解析：證明：由意可得：這個幾何體是直三棱柱，
且AC^BC，AC=BC=CC₁     2分

（1）由直三棱柱的性質可得：AA₁^A₁B₁
四邊形ABCD為矩形，則M為AB₁的中點，N為B₁C₁
的中點，在DAB₁C中，由中位線性質可得：
MN//AC₁，又AC₁Ì平面ACC₁A₁，MNË平面ACC₁A₁
\ MN//平面ACC₁A₁           6分
（2）因為：CC₁^平面ABC，BCÌ平面ABC，\ CC₁^ BC，
又BC^AC，ACÇCC₁=C，所以，BC^平面ACC₁A₁，AC₁Ì平面ACC₁A₁
\ BC^AC₁，在正方形ACC₁A₁中，AC₁^A₁C，BCÇA₁C=C，\ AC₁^平面A₁BC，
又AC₁//MN，\MN^平面A₁BC             10分