【題目】已知數(shù)列{an}滿足(an+1﹣1)(an﹣1)= (an﹣an+1),a1=2,若bn=
(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)令cn= ,{cn}的前n項和為Tn , 用數(shù)學歸納法證明Tn (n∈N*).

【答案】
(1)證明:由(an+1﹣1)(an﹣1)= (an﹣an+1)得 =2,

即bn+1﹣bn=2,

∴{bn}是首項為b1= =1,公差為2的等差數(shù)列.


(2)解:由(1)知,bn=1+2(n﹣1)=2n﹣1,cn= = ,

①當n=1時,則有T1=1有T1 =1成立;

②假設當n=k時,不等式成立,即Tk 成立,

則當n=k+1時,Tk+1=Tk+ck+1= + ,

欲證 +

只須證 +1≥k+1,

即證 ≥k,即證 ,即證1≥0,而此式成立

故當n=k+1時,不等式也成立.

故有Tn (n∈N*).


【解析】(1)由(an+1﹣1)(an﹣1)= (an﹣an+1)得 =2,繼而得到{bn}是首項為b1= =1,公差為2的等差數(shù)列.(2)由數(shù)學歸納法和分析法即可證明.
【考點精析】利用等差關系的確定和數(shù)學歸納法的定義對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),即=d ,(n≥2,n∈N)那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列;數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法.

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