(本小題滿分13分)
已知橢圓:上的一動點到右焦點的最短距離為,且右焦點到右準線的距離等于短半軸的長.
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 過點(,)的動直線交橢圓于、兩點,試問:在坐標平面上是否存在一個定點,使得無論如何轉動,以為直徑的圓恒過定點?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
解: (Ⅰ)設橢圓的焦距為,則由題設可知,解此方程組得
,. 所以橢圓C的方程是. ………5分
(Ⅱ)解法一:假設存在點T(u, v). 若直線l的斜率存在,設其方程為,
將它代入橢圓方程,并整理,得.
設點A、B的坐標分別為,則
因為及
所以
……9分
當且僅當恒成立時,以AB為直徑的圓恒過定點T,
所以解得
此時以AB為直徑的圓恒過定點T(0,1). ……11分
當直線l的斜率不存在,l與y軸重合,以AB為直徑的圓為也過點T(0,1).
綜上可知,在坐標平面上存在一個定點T(0,1),滿足條件. ……13分
解法二:若直線l與y軸重合,則以AB為直徑的圓是
若直線l垂直于y軸,則以AB為直徑的圓是 ……7分
由解得.
由此可知所求點T如果存在,只能是(0,1). ……8分
事實上點T(0,1)就是所求的點. 證明如下:
當直線l的斜率不存在,即直線l與y軸重合時,以AB為直徑的圓為,
過點T(0,1); 當直線l的斜率存在,設直線方程為,代入橢圓方程,并整理,得
設點A、B的坐標為,則 ……10分
因為,
所以,即以AB為直徑的圓恒過定點T(0,1).
綜上可知,在坐標平面上存在一個定點T(0,1)滿足條件. ……13分
解析
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆江西省高一第二次月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期和最大值;
(2)在給出的直角坐標系中,畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象.
(3)設0<x<,且方程有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省高三年級八月份月考試卷理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年福建省高三年級八月份月考試卷理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知集合, ,.
(1)求(∁; (2)若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:河南省09-10學年高二下學期期末數(shù)學試題(理科) 題型:解答題
(本小題滿分13分)如圖,正三棱柱的所有棱長都為2,為的中點。
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成的角。www.7caiedu.cn
[來源:KS5
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年福建省高三5月月考調(diào)理科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列{}的首項.
(1) 求函數(shù)的表達式;
(2)在中,若A=2,,BC=2,求的面積
(3) 求數(shù)列的前項和
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