Question

13．已知函數(shù)f（x）=2|x+2|-|x+1|，無窮數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a．
（1）如果a_n=f（n）（n∈N^*），寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）如果a_n=f（a_n-1）（n∈N^*且n≥2），要使得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求首項(xiàng)a的取值范圍；
（3）如果a_n=f（a_n-1）（n∈N^*且n≥2），求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）為分段函數(shù)，然后求出a_n=f（n）=n+3．
（2）如果{a_n}是等差數(shù)列，求出公差d，首項(xiàng)，然后求解a的范圍．
（3）當(dāng)a≥-1時(shí)，求出前n項(xiàng)和，當(dāng)-2≤a≤-1時(shí)，當(dāng)a≤-2時(shí)，分別求出n項(xiàng)和即可．

解答 （18分）解：（1）∵函數(shù)f（x）=2|x+2|-|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{x+3，x≥-1}\\{3x+5，-2＜x≤-1}\\{-x-3，x≤-2}\end{array}\right.$，…（2分）
又n≥1且n∈N^*，∴a_n=f（n）=n+3．…（4分）
（2）如果{a_n}是等差數(shù)列，則a_n-a_n-1=d，a_n=a_n-1+d，
由f（x）知一定有a_n=a_n-1+3，公差d=3．
當(dāng)a₁≥-1時(shí)，符合題意．
當(dāng)-2≤a₁≤-1時(shí)，a₂=3a₁+5，由a₂-a₁=3得3a₁+5-a₁=3，得a₁=-1，a₂=2．
當(dāng)a₁≤-2時(shí)，a₂=-a₁-3，由a₂-a₁=3得-a₁-3-a₁=3，得a₁=-3，此時(shí)a₂=0．
綜上所述，可得a的取值范圍是a≥-1或a=-3．…（9分）
（3）當(dāng)a≥-1時(shí)，a_n=f（a_n-1）=a_n-1+3，∴數(shù)列{a_n}是以a為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，${S_n}=na+\frac{n（n-1）}{2}×3=\frac{3}{2}{n^2}+（a-\frac{3}{2}）n$．…（12分）
當(dāng)-2≤a≤-1時(shí)，a₂=3a₁+5=3a+5≥-1，∴n≥3時(shí)，a_n=a_n-1+3．∴n=1時(shí)，S₁=a．n≥2時(shí)，${S_n}=a+（n-1）{a_2}+\frac{（n-1）（n-2）}{2}×3=\frac{3}{2}{n^2}+（\frac{1}{2}+3a）n-2a-2$
又S₁=a也滿足上式，∴${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+（\frac{1}{2}+3a）n-2a-2$（n∈N^*）…（15分）
當(dāng)a≤-2時(shí)，a₂=-a₁-3=-a-3≥-1，∴n≥3時(shí)，a_n=a_n-1+3．∴n=1時(shí)，S₁=a．n≥2時(shí)，${S_n}=a+（n-1）{a_2}+\frac{（n-1）（n-2）}{2}×3=\frac{3}{2}{n^2}-（a+\frac{15}{2}）n+2a+6$
又S₁=a也滿足上式，∴${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}-（a+\frac{15}{2}）n+2a+6$（n∈N^*）．
綜上所述：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{n}^{2}+（a-\frac{3}{2}）n，a≥-1}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}+（\frac{1}{2}+3a）n-2a-2，-2＜a≤-1}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-（a+\frac{15}{2}）n+2a+6，a≤-2}\end{array}\right.$．…（18分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．