Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的極坐標(biāo)方程為，為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，與軸、軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn).

（1）求線段中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程；

（2）若是（1）中點(diǎn)的軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；（2）面積的最大值為.

【解析】試題分析：（1）將極坐標(biāo)方程利用，化為直角坐標(biāo)方程，利用其參數(shù)方程設(shè)，則，從而可得線段中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程；（2）由（1）知點(diǎn)的軌跡的普通方程為，直線的方程為.

設(shè)，利用點(diǎn)到直線距離公式、三角形面積公式以及輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的有界性可得面積的最大值.

試題解析：（1）由的方程可得，又，，

∴的直角坐標(biāo)方程為，即.

設(shè)，則，

∴點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（2）由（1）知點(diǎn)的軌跡的普通方程為，，，，所以直線的方程為.

設(shè)，則點(diǎn)到的距離為

，

∴面積的最大值為.