Question

在直角坐標系xOy中，中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓C上的點（2，1）到兩焦點的距離之和為4．
（1）求橢圓C 的方程；（2）過橢圓C 的右焦點F作直線l與橢圓C分別交于A、B兩點，其中點A在x軸下方，且=3．求過O、A、B三點的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義得2a=4，從而求出a的值，然后將點（2，1）代入橢圓的標準方程，求出b，從而求出橢圓的方程；
（2）分別設(shè)出A、B的坐標，利用=3得到A、B坐標之間的關(guān)系，然后將A、B的坐標代入橢圓的方程，通過解方程即可求得A、B的坐標，最后設(shè)出所求圓的方程，將O、A、B的坐標代入，解方程即可．
解答：解：（1）由題意，設(shè)橢圓C：（a＞b＞0），則2a=4，a=2．
∵點（2，1）在橢圓上，
∴，解得b=，
∴所求橢圓的方程為．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（y₁＜0，y₂＞0），點F的坐標為F（3，0），
由=3，得3-x₁=3（x₂-3），-y₁=3y₂，即x₁=-3x₂+12，y₁=-3y₂①．
又A、B在橢圓C上，
∴=1，，
解得x₂=，y₂=，
∴B（），代入①得A（2，-）．
設(shè)過O、A、B三點的圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則將O、A、B三點的坐標代入得
F=0，6+2D-E+F=0，+D，
解得D=，E=，F(xiàn)=0，
故過O、A、B三點的圓的方程為x²+y²-x-y=0．
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用、向量及圓的方程的綜合應(yīng)用，解題時要認真審題，注意運用方程思想、轉(zhuǎn)化思想、待定系數(shù)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，同時考查了學(xué)生的基本運算能力與運算技巧，難度中等．