Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足x-y+1=0（-1≤x≤4），則（x-3）²+y²的取值范圍是

 

；

y-2

x

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（x-3）²+y²的表示線段MN：x-y+1=0（-1≤x≤4）上的點(diǎn)（x，y）到A（3，0）點(diǎn)的距離的平方，求得點(diǎn)A到直線x-y+1=0的距離以及A到點(diǎn)M（-1，0）的距離、A到點(diǎn)N（4的距離，數(shù)形結(jié)合可得（x-3）²+y²的取值范圍．
由于

y-2

x

表示線段MN上的點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)B（0，2）連線的斜率，求得K_BM 和K_BN 的值，數(shù)形結(jié)合求得

y-2

x

的取值范圍．

解答： 解：如圖：（x-3）²+y²的表示線段MN：x-y+1=0（-1≤x≤4）上的點(diǎn)（x，y）到A（3，0）點(diǎn)的距離的平方，
點(diǎn)A到直線x-y+1=0的距離為

|3-0+1|

2

=2

2

，A到點(diǎn)M（-1，0）的距離為4，A到點(diǎn)N（4，5）的距離為

(4-3)2+(5-0)2

=

26

，
故（x-3）²+y²的取值范圍是為[2

2

，

26

]．
由于

y-2

x

表示線段MN上的點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)B（0，2）連線的斜率，而K_BM=

2-0

0+1

=2，K_BN=

5-2

4-0

=

3

4

，
故

y-2

x

的取值范圍是[2，+∞）∪（-∞，

3

4

]．
故答案為：[2

2

，

26

]；[2，+∞）∪（-∞，

3

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式、斜率公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．