Question

已知f（x）=|sinx|+|cosx|，試根據(jù)下列要求研究函數(shù)f（x）的性質(zhì)：
（1）證明：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并求出它的一個(gè)周期；
（3）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不必證明），并求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶的定義即可證明：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)周期性的定義即可證明函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并求出它的一個(gè)周期；
（3）求出函數(shù)的表達(dá)式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）f（-x）=|cos（-x）|+|sin（-x）|=|cosx|+|sinx|=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)；
（2）∵f（x+

π

2

）=|sin（x+

π

2

）|+|cos（x+

π

2

）=|cosx|+|sinx|，
∴此時(shí)

π

2

是函數(shù)的一個(gè)周期．
（3）f（x）=

sin?x+cos?x，0≤x≤ π 2 sin?x-cos?x， π 2 ＜x≤π -sin?x-cos?x，π＜x≤ 3π 2 cos?x-sin?x， 3π 2 ＜x≤2π

，
作出函數(shù)f（x）的圖象可知：
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[

kπ

2

，

kπ

2

+

π

4

]，k∈Z，
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[

kπ

2

+

π

4

，

kπ

2

+

π

2

]，k∈Z，
當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，f（x）∈[1，

2

]，
則函數(shù)的最大值

2

，最小值為1．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用條件求出函數(shù)的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵．