Question

已知圓x²+y²+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P、Q兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使OP⊥OQ．若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，根據(jù)OP⊥OQ可推斷出

OP

•

OQ

=-1，把P，Q坐標(biāo)代入求得關(guān)系式，把直線方程與圓的方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示出x_p+x_Q和x_p•x_Q，利用直線方程求得y_p•y_Q的表達(dá)式，最后聯(lián)立方程求得m，利用判別式驗(yàn)證成立，答案可得．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q）
當(dāng)OP⊥OQ時(shí)，K_op•K_OQ=-1?

OP

•

OQ

=-1?x_px_Q+y_py_Q=0（1）
又直線與圓相交于P、Q?

x+2y-3=0 x2+y2+x-6y+m=0

的根是P、Q坐標(biāo)
?是方程5x²+10x+（4m-27）=0的兩根
有：x_p+x_Q=-2，x_p•x_Q=

4m-27

5

（2）
又P、Q在直線x+2y-3=0上y_p•y_Q=

1

2

（3-x_p）•（3-x_Q）（3）

1

4

=[9-3（x_p+x_Q）+x_p•x_Q]
由（1）（2）（3）得：m=3
且檢驗(yàn)△＞O成立
故存在m=3，使OP⊥OQ

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的方程的綜合運(yùn)用．本題的最后對(duì)求得的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證是不可或缺的步驟，保證了結(jié)果的正確性．