Question

設(shè)（-∞，a）是函數(shù)f(x)=

1-2x

x-2

(x≠2)的反函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出x關(guān)于y的式子，在把x和y互換求出反函數(shù)f'（x）的解析式，用分離常數(shù)法對(duì)它進(jìn)行變形，求出反函數(shù)f'（x）的單調(diào)區(qū)間，再由題意求出a的取值范圍．

解答：解：由題意知，設(shè)y=f(x)=

1-2x

x-2

(x≠2)，則x=

2y+1

y+2

，
∴f（x）的反函數(shù)f'（x）=

2x+1

x+2

（x≠-2），
又∵f'（x）=

2x+1

x+2

=2-

3

x+2

，
∴反函數(shù)f'（x）在區(qū)間（-∞，-2），（-2，+∞）上是增函數(shù)，
∵（-∞，a）是反函數(shù)f'（x）的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，
∴a≤-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)的性質(zhì)，即由原函數(shù)求它的反函數(shù)的解析式，并求出它的定義域，又用了分離常數(shù)法化簡(jiǎn)解析式后，求反函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．