Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，DE⊥EB．
（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
（2）若AB=2

3

，AE=6，求EC的長．

Answer 1

分析：（1）要證明AC是△BDE的外接圓的切線，故考慮取BD的中點(diǎn)O，只要證明OE⊥AC，結(jié)合∠C=90°，證明BC∥OE即可
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則在△AOE中，由OA²=OE²+AE²，可求r，代入可得OA，2OE，Rt△AOE中，可求∠A，∠AOE，進(jìn)而可求∠CBE=∠OBE，在△BCE中，通過EC與BE的關(guān)系可求．

解答：解（1）取BD的中點(diǎn)O，連接OE．
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，
∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．…3分
∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圓的切線．
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則在△AOE中，OA²=OE²+AE²，即（r+2

3

）²=r²+6²，
解得r=2

3

，∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°．
∴∠CBE=∠OBE=30°．
∴EC=

1

2

BE=

1

2

3

r=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定定理的應(yīng)用，直角三角形基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的簡單綜合．