Question

13．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是BC，CC₁的中點(diǎn)．
（1）證明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，且CD=A₁D，求三棱錐A₁-AEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可得側(cè)棱垂直于底面，得到AE⊥BB₁，再由E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，可得AE⊥BC，利用線面垂直的判定得到AE⊥平面B₁BCC₁，再由面面垂直的判定得答案；
（2）△CA₁D是等腰直角三角形，解直角三角形得到直三棱柱的高，由三棱錐體積公式，利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求得三棱錐A₁-AEF的體積．

解答 證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴B₁B⊥底面ABC，則AE⊥BB₁，
又E是正三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
又B₁B∩BC=B，
因此AE⊥平面B₁BCC₁，而AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
解：（2）在正三角形ABC中，由AB=BC=AC=2，得CD=$\sqrt{3}$，
∵CD=A₁D，
∴A₁D=$\sqrt{3}$，
在Rt△AA₁D中，AA₁=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐A₁-AEF的體積=三棱錐E-A₁AF的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查了棱錐、棱柱、棱臺(tái)體積的求法，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．