Question

如圖，攝影愛好者S在某公園A處，發(fā)現(xiàn)正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知S的身高約為米（將眼睛距地面的距離SA按米處理）．
（1）求攝影者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN，且MN繞其中點O在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時刻，攝影者觀察彩桿MN的視角∠MSN（設(shè)為θ）是否存在最大值？若存在，請求出∠MSN取最大值時cosθ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）攝影者眼部記為點S，作SC⊥OB于C，則有∠CSB=30°，∠ASB=60°．，在Rt△SAB中，由三角函數(shù)的定義可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函數(shù)的定義可求OC，進而可求OB
（2）以O(shè)為原點，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐標系．設(shè)M（cosα，sinα），α∈[0，2π），則N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知．，利用向量的數(shù)量積的坐標表示可求，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可求
另解：由題意可得cos∠MOS=-cos∠NOS，結(jié)合余弦定理可得，則有SM²+SN²=26可求cosθ范圍
解答：解：（1）如圖，不妨將攝影者眼部記為點S，作SC⊥OB于C，
依題意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又，故在Rt△SAB中，可求得，
即攝影者到立柱的水平距離為3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中，
又，故，即立柱的高度為米．…（6分）
（2）如圖，以O(shè)為原點，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐
標系．設(shè)M（cosα，sinα），α∈[0，2π），
則N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知．…（8分）
故，，（10分）==
由α∈[0，2π）知…（12分）
所以，易知∠MSN為銳角，
故當視角∠MSN取最大值時，．…（13分）
另解：∵cos∠MOS=-cos∠NOS
∴
于是    得SM²+SN²=26
從而
點評：本題考查的是解三角形的應(yīng)用，解題的 關(guān)鍵是準確理解基本概念：仰角俯角問題，熟知銳角三角函數(shù)的定義及正弦、余弦定理．