Question

1．設(shè)$\frac{tan（A-B）}{tanA}$+$\frac{si{n}^{2}C}{si{n}^{2}A}$=1，求證：tan²C=tanAtanB．

Answer 1

分析 先利用兩角差的正切公式展開，進(jìn)行移項，利用三角恒等變形進(jìn)行化簡，即可求得tan²C=tanAtanB．

解答 證明：∵$\frac{tan（A-B）}{tanA}$+$\frac{si{n}^{2}C}{si{n}^{2}A}$=1，
∴1-$\frac{tanA-tanB}{tanA（1+tanAtanB）}$=$\frac{si{n}^{2}C}{si{n}^{2}A}$，
$\frac{tanB•se{c}^{2}A}{tanA（1+tanA•tanB）}$=$\frac{si{n}^{2}C}{si{n}^{2}A}$，
tanB•tan²A=tanA（1+tanA•tanB）sin²C，
tanB•tanA=（1+tanA•tanB）sin²C，
tanB•tanA+1-1=（1+tanA•tanB）sin²C，
$1-\frac{1}{1-tanA•tanB}=si{n}^{2}C$，
$1-si{n}^{2}C=\frac{1}{1+tanA•tanB}$，
$\frac{1}{se{c}^{2}C}=\frac{1}{1+tanA•tanB}$，
∴sec²C=1+tanA•tanB，
∴tan²C=tanAtanB．

點(diǎn)評 本題考查三角恒等變換，屬于中檔題．