Question

設(shè)橢圓C：（a＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，A是橢圓C上的一點(diǎn)，，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為|OF₁|．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)Q是橢圓C上的一點(diǎn)，過點(diǎn)Q的直線l交x軸于點(diǎn)F（-1，0），交y軸于點(diǎn)M，若||=2||，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出A的坐標(biāo)，可得AF₁所在直線方程，求出坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離，利用坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為|OF₁|，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程，利用||=2||，確定Q的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知，，
由于，則有，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為  …（2分）
故AF₁所在直線方程為   …（4分）
所以坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為
又|OF₁|=，所以，解得：a=2 …（6分）
∴所求橢圓的方程為   …（7分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），則有M（0，k）      …（8分）
設(shè)Q（x₁，y₁），由于Q、F、M三點(diǎn)共線，且||=2||，
∴（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得或  …（11分）
又Q在橢圓C上，故或…（12分）
解得k=0或k=±4，所以所求直線l的斜率為0或±4       …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．