Question

6．已知函數(shù)f（x）=2cos（2ωx+$\frac{π}{3}$）-2cos2ωx+1（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求f（x）的對稱中心；
（Ⅱ）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，若△ABC為銳角三角形且f（A）=0，求$\frac{c}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的表達式，根據(jù)2x+$\frac{π}{6}$=kπ，求出f（x）的對稱中心即可；（Ⅱ）先求出A的值，得到B，C的范圍，由正弦定理得到$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1+$\frac{1}{tanC}$），從而求出其范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2cos（2ωx+$\frac{π}{3}$）-2cos2ωx+1
=2（$\frac{1}{2}$cos2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx）-2cos2ωx+1
=cos2ωx-$\sqrt{3}$sin2ωx-2cos2ωx+1
=-2（$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx）+1
=-2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，故ω=1，
∴f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，
故f（x）的對稱中心是（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，1）；
（Ⅱ）∵f（A）=0，
∴-2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=0，解得A=$\frac{π}{3}$，
∴B+C=$\frac{2π}{3}$π，而△ABC是銳角三角形，
∴

b

c

=

sinB

sinC

=

3 2 cosC+ 1 2 sinC

sinC

=

3

2

1

tanC

+

1

2

，
∵0＜B＜

π

2

，0＜C＜

π

2

∴

π

6

＜C＜

π

2

∴tanC＞

3

∴

1

tanC

＜

1

3

∴

1

2

＜

b

c

＜2
∴

b

c

的范圍是（

1

2

，2）．

點評 本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查其函數(shù)的周期問題，考查正弦定理的應用，是一道中檔題．