【題目】已知函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì):如果常數(shù)t>0,那么該函數(shù)在(0, ]上是減函數(shù),在[ ,+∞)上是增函數(shù).
(1)若f(x)=x+ ,函數(shù)在(0,a]上的最小值為4,求a的值;
(2)對于(1)中的函數(shù)在區(qū)間A上的值域是[4,5],求區(qū)間長度最大的A(注:區(qū)間長度=區(qū)間的右端點﹣區(qū)間的左斷點);
(3)若(1)中函數(shù)的定義域是[2,+∞)解不等式f(a2﹣a)≥f(2a+4).
【答案】
(1)解:由題意的:函數(shù)f(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,
當(dāng)a> 時,即a>1時函數(shù)在x= 處取得最小值,
∴f( )=2 =4,解得a=4,
當(dāng)a< 時,即0<a<1時,函數(shù)在x=a處取得最小值,
∴f(a)=a+1=4,解得a=3不符合題意,舍去.
綜上可得 a=4
(2)解:由(1)得f(x)=x+ ,又x=2時函數(shù)取得最小值4,
令x+ =5,則x2﹣5x+4=0,解得 x=1或 x=4,
又2∈[1,4],
∴區(qū)間長度最大的A=[1,4]
(3)解:由(1)知函數(shù)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴原不等式等價于 ,
解得a≥4或a=﹣1,
∴不等式的解集{a|a≥4或a=﹣1}
【解析】(1)利用性質(zhì),討論 與區(qū)間(0,a]的關(guān)系,從而利用最小值是4,建立條件關(guān)系.(2)根據(jù)值域為[4,5],確定對應(yīng)的變量x,然后判斷最大的區(qū)間.(3)利用函數(shù)的單調(diào)性,解不等式即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識,掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查中小學(xué)課外使用互聯(lián)網(wǎng)的情況,教育部向華東、華北、華南和西部地區(qū)60所中小學(xué)發(fā)出問卷份, 名學(xué)生參加了問卷調(diào)查,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖).
(1)要從這名中小學(xué)中用分層抽樣的方法抽取名中小學(xué)生進(jìn)一步調(diào)查,則在(小時)時間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是多少?
(2)若希望的中小學(xué)生每天使用互聯(lián)網(wǎng)時間不少于(小時),請估計的值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=4n,數(shù)列{bn}滿足b1=-3,
bn+1=bn+(2n-3)(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)若cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,是偶函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)的是( )
A.y=|x|
B.y=1﹣x
C.y=
D.y=﹣x2+4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點P的極坐標(biāo)為。
(Ⅰ)求直線l以及曲線C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點,求△PAB的面積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,已知直線l1: (, ),拋物線C: (t為參數(shù)).以原點為極點, 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求直線l1 和拋物線C的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線l1 和拋物線C相交于點A(異于原點O),過原點作與l1垂直的直線l2,l2和拋物線C相交于點B(異于原點O),求△OAB的面積的最小值.
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