Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）與圓O：x²+y²=4相交于A、B兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，且滿足

OA

+

OB

=2

OF

，

OA

•

OB

=-2
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）過點P（t，-1）作拋物線的兩條切線，切點分別為M，N，直線MN與圓O交于C，D兩點，直線PF與圓O交于Q，R兩點，如圖所示，四邊形CRDQ的面積的取值范圍．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合,拋物線的標準方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）確定F為AB的中點，利用

OA

•

OB

=-2，求出∠AOB=

2π

3

，即可求拋物線的方程；
（Ⅱ）求出切線PM、PN的方程，可得P的坐標，證明MN⊥PF，求出|CD|，|RQ|，即可求得四邊形CRDQ的面積的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）x²=2py的焦點F（0，

p

2

）．
∵

OA

+

OB

=2

OF

，
∴F為AB的中點，
∵

OA

•

OB

=-2，
∴2•2•cos∠AOB=-2，
∴cos∠AOB=-

1

2

，
∴∠AOB=

2π

3

，
在△AOB中，|OF|=

1

2

|OB|=1，∴

p

2

=1，
∴p=2，
∴拋物線的方程為x²=4y；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則
切線PM：y-

x12

4

=

1

2

x₁（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

x12

4

，
同理切線PN：y=

1

2

x₂x-

x22

4

，
聯(lián)立求得P（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），則x₁+x₂=2t，x₁x₂=-4，
∴直線MN的方程為y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

，即y=

1

2

tx+1，
直線PF：y-1=-

2

t

（x-6），即y=-

2

t

x+1，
∵

1

2

t•（-

2

t

）=-1，
∴MN⊥PF
O到MN的距離d₁=

1

1 4 t2+1

，∴|CD|=2

4-d12

=2

4- 1 1 4 t2+1

；
O到PF的距離d₂=

1

4 t2 +1

，∴|RQ|=2

4-d22

=2

4- 1 4 t2 +1

，
∴S=

1

2

|RQ||CD|=2

4- 4 t2+4

•

3+ 4 t2+4

，
令

4

t2+4

=m（m∈（0，1]），則S=2

(4-m)(3+m)

，
∵（4-m）（3+m）=-(m-

1

2

)2+

49

4

，
∴（4-m）（3+m）∈[12，

49

4

]，
∴S∈[4

3

，7]．

點評：本題考查拋物線的方程，考查圓與圓錐曲線的綜合，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，有難度．