Question

設(shè)f(n)＝1＋＋＋ ＋ (n∈N^*)．

求證：f(1)＋f(2)＋ ＋f(n－1)＝n·[f(n)－1](n≥2，n∈N^*)．

 

Answer 1

【答案】

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．

【解析】

試題分析：①當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝f(1)＝1，

右邊＝2[1＋－1]＝1，

左邊＝右邊，等式成立．

②假設(shè)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即

f(1)＋f(2)＋ ＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，

那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

f(1)＋f(2)＋ ＋f(k－1)＋f(k)

＝k[f(k)－1]＋f(k)

＝(k＋1)f(k)－k

＝(k＋1)[f(k＋1)－]－k

＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，

所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論仍然成立．

所以f(1)＋f(2)＋ ＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N^*)．

考點(diǎn)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法。

點(diǎn)評：中檔題，利用數(shù)學(xué)歸納法，注意遵循“兩步一結(jié)”。對數(shù)學(xué)式子變形能力要求較高。