Question

已知點(diǎn)P（x，y）為橢圓

x2

4

+y2=1上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為橢圓左、右焦點(diǎn)，下列結(jié)論中：①△PF₁F₂面積的最大值為

2

；②若過點(diǎn)P、F₂的直線l與橢圓的另一交點(diǎn)為Q，則△PF₁Q的周長為8；③若過點(diǎn)P、F₂的直線l與橢圓的另一交點(diǎn)為Q，則恒有

|PF2|+|QF2|

|PF2|•|QF2|

=4；對定點(diǎn)A(

3

2

，

1

2

)，則|

PA

|+|

PF2

|的取值范圍為[4-

7

，4+

7

．其中正確結(jié)論的番號是

②③④

．

Answer 1

分析：①△PF₁F₂面積S=

1

2

|F₁F₂|•|y|，所以當(dāng)|y|取最大值時，△PF₁F₂面積最大，此時點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)；
②利用橢圓的第一定義，即可求得；
③分斜率存在與不存在討論，假設(shè)直線方程代入橢圓方程，借助于韋達(dá)定理與橢圓的第二定義，化簡即可；
④根據(jù)定點(diǎn)A(

3

2

，

1

2

)在橢圓

x2

4

+y2=1的內(nèi)部，點(diǎn)P（x，y）為橢圓

x2

4

+y2=1上一點(diǎn)，可得|

PA

|+|

PF2

|=|

PA

|+(2a-|

PF1

|)=2a+(|

PA

|-|

PF1

|)，從而當(dāng)且僅當(dāng)P、A、F₁三點(diǎn)共線時，|

PA

|-|

PF1

|取得最小與最大，|

PA

|+|

PF2

|取得最小與最大．

解答：解：①△PF₁F₂面積S=

1

2

|F₁F₂|•|y|=

3

|y|，所以當(dāng)|y|取最大值時，△PF₁F₂面積最大，所以點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時，|y|取最大值，此時y=±1，即△PF₁F₂面積的最大值S=

3

，故①錯誤；
②∵P，Q在橢圓上，F(xiàn)₁、F₂為橢圓左、右焦點(diǎn)
∴△PF₁Q的周長為2a+2a=4a，
∵a=2
∴△PF₁Q的周長為8，
故②正確；
③斜率存在時，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線方程為：y=k（x-

3

）
代入橢圓方程

x2

4

+y2=1得：(1+4k2)x2-8

3

k2x+12k2-4=0
∴x1+x2=

8 3 k2

1+4k2

，x1x2=

12k2-4

1+4k2

根據(jù)橢圓的第二定義可得：

|PF2|

a2 c -x1

=

c

a

，

|QF2|

a2 c -x2

=

c

a

∴|PF₂|=a-ex₁，|QF₂|=a-ex₂
∴

|PF2|+|QF2|

|PF2|•|QF2|

=

1

|PF2|

+

1

|QF2|

=

1

a-ex1

 +

1

a-ex2

=

2a-e(x1+x2)

(a-ex1)(a-ex2)

=

2a-e(x1+x2)

a2-ae(x1+x2)+e2x1x2

∵a=2，e(x1+x2)=

3

2

×

8 3 k2

1+4k2

=

12k2

1+4k2

，ae(x1+x2)=

24k2

1+4k2

，e2x1x2=

3

4

×

12k2-4

1+4k2

= 

9k2-1

1+4k2

∴

|PF2|+|QF2|

|PF2|•|QF2|

=4
當(dāng)斜率不存在時，|PF2|=|QF2|=

1

2

，∴

|PF2|+|QF2|

|PF2|•|QF2|

=4，故③正確；

④∵定點(diǎn)A(

3

2

，

1

2

)在橢圓

x2

4

+y2=1的內(nèi)部，點(diǎn)P（x，y）為橢圓

x2

4

+y2=1上一點(diǎn)，
∴|

PA

|+|

PF2

|=|

PA

|+(2a-|

PF1

|)=2a+(|

PA

|-|

PF1

|)
當(dāng)且僅當(dāng)P、A、F₁三點(diǎn)共線時，|

PA

|-|

PF1

|取得最小與最大，|

PA

|+|

PF2

|取得最小與最大．
∵A(

3

2

，

1

2

)，F1(-

3

，0)
∴|AF1|=

7

∴|

PA

|+|

PF2

|的取值范圍為[4-

7

，4+

7

]，故④正確
故答案為：②③④

點(diǎn)評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的性質(zhì)，考查橢圓的兩個定義，解題思維有點(diǎn)困難，計(jì)算要細(xì)心．