Question

已知拋物線y²=8x，過M（2，3）作直線l交拋物線于A、B．
（1）求以M（2，3）為中點的弦AB所在直線l的方程．
（2）設(shè)AB的中點為N，求N的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）由題知l的斜率存在設(shè)斜率為且k≠0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵A、B在y²=8x上，
∴，
∴由 （y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），可得 ，
故AB所在直線l的方程為：y-3= （x-2），即 4x-3y+1=0．
（2）設(shè)AB的中點N（x₀，y₀ ），A（x₁，y₁） B （x₂，y₂），∴．
當(dāng)l斜率存在時，設(shè)斜率為k，直線方程為：y-3=k（x-2），∵A、B在y²=8x上，
∴y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），∴．
由N（x₀，y₀）在直線l上，∴，
又當(dāng)直線l斜率不存在時，直線方程為x=2，中點為（2，0）滿足上述方程，
所以，所求中點N的軌跡方程為：y²-4x-3y+8=0．
分析：（1）由題知l的斜率存在設(shè)斜率為且k≠0，根據(jù) ，可得的值，點斜式求得AB所在直線l的方程．
（2）設(shè)AB的中點N（x₀，y₀ ），由中點公式及 y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，求出l的斜率k=，再根據(jù)中點N（x₀，y₀）在直線l上，得到y(tǒng)₀²-4x₀-3y₀+8=0，當(dāng)直線l斜率不存在時，中點為（2，0）滿足上述方程，從而得到中點N的軌跡方程為：y²-4x-3y+8=0．
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，軌跡方程的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出直線的斜率，是
解題的關(guān)鍵．