Question

7．如圖所示，函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）離y軸最近的零點(diǎn)與最大值均在拋物線y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1上，則f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的最大值為1，即-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1=1，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)就是-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1=0的解，解得，并根據(jù)條件判斷即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）的最大值為1，所以-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1=1，解得x=0或x=$\frac{1}{3}$，當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=sinφ＜1，故舍去，
當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，$\frac{1}{3}$ω+φ=$\frac{π}{2}$，①，
當(dāng)y=0時(shí)，-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+1=0，解得x=1（舍去）或x=-$\frac{2}{3}$，
當(dāng)x=-$\frac{2}{3}$時(shí)，-$\frac{2}{3}$ω+φ=0，②，
由①②解得ω=$\frac{π}{2}$，φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
故答案為：sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)值的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．