Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f （1））處的切線方程；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）在區(qū)間[1，e）上的最小值為-2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出f（1）及f′（1）的值，然后代入點(diǎn)斜式方程即可得到曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f （1））處的切線方程；
（2）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出f（x）在區(qū)間[1，e）上的最小值，建立等式可求出所求．

解答：解：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-3x+lnx，f′（x）=2x-3+

1

x

，
∵f′（1）=0，f（1）=-2，∴切線方程為：y=-2．                                     
（2）函數(shù)f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=2ax-（a+2）+

1

x

=

2ax2-(a+2)x-1

x

（x＞0），
令f′（x）=0，即f′（x）=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，
∴x=

1

2

或x=

1

a

，
當(dāng)0＜

1

a

≤1，即a≥1時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；
當(dāng)1＜

1

a

＜e時(shí)，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合題意；
當(dāng)

1

a

≥e時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合題意，
故a的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時(shí)要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，一般是求出導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，然后求出跟對應(yīng)的函數(shù)值，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，然后比較大小即可得到函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．屬于中檔題．