Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)上的兩點，已知O為坐標原點，橢圓的離心率e=

3

2

，短軸長為2，且

m

=(

x1

b

，

y1

a

)，

n

=(

x2

b

，

y2

a

)，若

m

•

n

=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率e=

3

2

，短軸長為2，建立方程組，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理、向量知識及三角形的面積公式，即可求得△AOB的面積是定值．

解答：解：（Ⅰ）2b=2⇒b=1，e=

c

a

=

a2-b2

a

=

3

2

⇒a=2，c=

3

所以橢圓的方程為

y2

4

+x2=1（5分）
（Ⅱ）是，證明如下：
①當直線AB的斜率不存在時，即x₁=x₂，y₁=-y₂
當

m

•

n

=0，得

x

2 1

-

y 2 1

4

=0⇒

y

2 1

=4

x

2 1

又A（x₁，y₁）在橢圓上，所以

x

2 1

+

4 x 2 1

4

=1⇒|x1|=

2

2

，|y1|=

2

所以S=

1

2

|x1||y1-y2|=

1

2

|x1|2|y1|=1（7分）
②當直線AB的斜率存在時，設(shè)AB的方程為y=kx+m，則

y=kx+m y2 4 +x2=1

，∴（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0
得到x1+x2=

-2km

k2+4

，x1x2=

m2-4

k2+4

（9分）
∵

m

•

n

=0，
∴x1x2+

y1y2

4

=0，∴x1x2+

(kx1+m)(kx2+m)

4

=0
代入整理，得2m²-k²=4，（10分）
∴S=

1

2

|m|

1+k2

|AB|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

|m| 4k2-4m2+16

k2+4

=

4m2

2|m|

=1（12分）
綜上所述，所以三角形的面積為定值（13分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．