精英家教網(wǎng)一個(gè)四棱錐P一ABCD的正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形及其一條對(duì)角線,側(cè)視圖和俯視圖全全等的等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為2,直觀圖如圖.
(1)求四棱錐P一ABCD的體積:
(2)求二面角C-PB-A大;
(3)M為棱PB上的點(diǎn),當(dāng)PM長(zhǎng)為何值時(shí),CM⊥PA?
分析:(1)由三視圖可知,PD⊥平面ABCD,這樣就看出四棱錐的底面和高都可以知道,做出體積的值.
(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DP、DC、DA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.兩個(gè)平面的法向量都不用求出,只要證出就可以,這樣根據(jù)兩個(gè)向量的夾角做出二面角的值.
(3)根據(jù)三點(diǎn)共線設(shè)出要求的向量,根據(jù)兩條線垂直,得到兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0,求出所設(shè)的值,得到結(jié)果.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)由三視圖可知,PD⊥平面ABCD,
四棱錐P-ABCD的體積V=
1
3
SABCD•PD=
8
3

(2)如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DP、DC、DA所在
直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)CP中
點(diǎn)為E,則OE⊥PC,OE⊥BC,所以
OE
是平面PBC的法向量;設(shè)AP中點(diǎn)為F,同理
可知
OF
是平面PAB的法向量.
OF
是平面PAB的法向量.
OE
=(1,1,0),
OF
=(1,0,1)

設(shè)二面角C-PB-A的平面角為θ,則|cosθ|=|
OE
OF
|
OE
|•|
OF
|
=
1
2
,顯然θ>
π
2
,
所以二面角C-PB-A大小為
3

(3)P(2,0,0),B(0,2,2),C(0,2,0),A(0,0,2),∵PMB共線,
∴可設(shè)
PM
=k•
PB
=(-2k,2k,2k),k∈R,
CM
=
CP
+
PM
=(2-2k,-2+2k,2k)
,
PA
=(-2,0,2)
,
CM⊥PA,所以
CM
PA
=8k-4=0
,∴k=
1
2
PM
=(-1,1,1),|
PM
|=
3

∴PM的長(zhǎng)為
3
時(shí),CM⊥PA
點(diǎn)評(píng):本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角和距離的問(wèn)題,本題解題的關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系,注意選擇解題的方法,方法選擇的好,可以降低題目的難度,本題可以作為高考卷中的題目出現(xiàn).
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