Question

如圖，已知三角形△ABC是等邊三角形，AD⊥平面ABC，BE∥AD，AB=BE=2AD=2，且F、G分別是BC、CE的中點．
（1）求證：AF∥平面CDE；
（2）求證：平面CDE⊥平面BCE；
（3）求四棱錐C-ADGF的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)中位線定理可知FG∥BE，且FG=

1

2

BE，而BE∥AD，且AD=

1

2

BE，則ADGF為平行四邊形，則AF∥DG，AF?平面CDE，DG?平面CDE，滿足線面平行的判定定理，從而證得結論；
（2）根據(jù)AD⊥平面ABC，BE∥AD，則BE⊥平面ABC，又AF?平面ABC，根據(jù)線面垂直的性質可知BE⊥AF．又AF⊥BC，BC∩BE=B，滿足線面垂直的判定定理，證得AF⊥平面BCE，又DG∥AF，則DG⊥平面BCE，DG?平面CDE，根據(jù)面面垂直的判定定理可證得結論；
（3）由（1）（2）中的結論結合已知可判斷出CF為棱錐的高，底面ADGF為正方形，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：證明：（1）∵F、G分別是BC、CE的中點，
∴FG∥BE，且FG=

1

2

BE．
又BE∥AD，且AD=

1

2

BE，
∴AD∥FG，且AD=FG，
∴ADGF為平行四邊形，
∴AF∥DG．…（2分）
又∵AF?平面CDE，DG?平面CDE，
∴AF∥平面CDE． …（4分）
（2）∵△ABC為正三角形，
∴AF⊥BC．
∵AD⊥平面ABC，BE∥AD，
∴BE⊥平面ABC，又AF?平面ABC，
∴BE⊥AF．
又AF⊥BC，BC∩BE=B，
∴AF⊥平面BCE． …（6分）
又DG∥AF，
∴DG⊥平面BCE．
又∵DG?平面CDE，
∴平面CDE⊥平面BCE；
（3）∵AD⊥平面ABC，GF∥AD，
∴GF⊥平面ABC，
∴GF⊥BC
又∵AF⊥BC，GF∩AF=F
∴BC⊥平面ADGF
即CF為平面ADGF的高
又∵AB=BE=2AD=2，
∴AF=AD=CF=1，
∴平面ADGF的面積為1
∴四棱錐C-ADGF的體積V=

1

3

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，直線與平面平行的判定，解答（1）（2）的關鍵是掌握空間線面關系的判定，性質及幾何特征，解答（3）的關鍵是求出棱錐的高及底面面積．