Question

14．已知不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{x≥0}\\{y≥m}\\{\;}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域的面積為2，則$\frac{2x+y+3}{x+1}$的最小值為$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)面積為2求出m值，又z=$\frac{2x+y+3}{x+1}$=2+$\frac{y+1}{x+1}$，設(shè)k=$\frac{y+1}{x+1}$，利用k的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，
，
其中A（0，2），B（2，0），
則△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
即m=0
又z=$\frac{2x+y+3}{x+1}$=2+$\frac{y+1}{x+1}$，
設(shè)k=$\frac{y+1}{x+1}$，其中$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)D（-1，-1）構(gòu)成的直線的斜率問題．
由圖象可知DB的斜率最小，此時(shí)k=$\frac{0+1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
則$\frac{2x+y+3}{x+1}$的最小值2+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{3}$，
故答案為：$\frac{7}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．