Question

已知：函數(shù)f(x)=2

3

sin2x+4cos2x-3．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值及此時(shí)x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且對(duì)f（x）定義域中的任意的x都有f（x）≤f（A）．若a=2，c=

3

b，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)二倍角公式和兩角和與差的公式進(jìn)行化簡為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，即可確定當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)，f（x）取最大值3，進(jìn)而可求出x的值．
（2）先根據(jù)（1）求得A的值，再由余弦定理可求得b，c的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式可確定答案．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sin2x+4×

cos2x+1

2

-3
=2

3

sin2x+2cos2x-1
=4sin(2x+

π

6

)-1
所以當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z時(shí)，f（x）取最大值3，
此時(shí)，x=kπ+

π

6

，k∈Z；
（2）由f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π）得到，A=

π

6

，
由余弦定理b2+3b2-2

3

b2cosA=a2，
所以：b=2，c=2

3

，
所以，面積s=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2

3

×

1

2

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二倍角公式和兩角和與差的公式以及余弦定理的應(yīng)用．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用．