Question

已知函數(shù) f(x)=

1

2

x2-2alnx+(a-2)x，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng) a=1時，求函數(shù) f（x）的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，討論函數(shù) f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，若存在求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后解出導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，判出在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性，從而的導(dǎo)函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a的不同取值對函數(shù)定義域分段，由函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷原函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅲ）在假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立的前提下，把問題轉(zhuǎn)化為（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-ax，利用導(dǎo)函數(shù)求出使函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)的a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
由f(x)=

1

2

x2-2alnx+(a-2)x，
當(dāng)a=1時，f(x)=

1

2

x2-2lnx-x，
f′(x)=x-

2

x

-1=

x2-x-2

x

=

(x+1)(x-2)

x

．
∴當(dāng)x∈（0，2）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）在x=2時取得最小值，其最小值為f（2）=-2ln2．
（Ⅱ）∵f′(x)=x-

2a

x

+(a-2)=

x2+(a-2)x-2a

x

=

(x-2)(x+a)

x

，
∴（1）當(dāng)-2＜a＜0時，若x∈（0，-a），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
若x∈（-a，2），f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
若x∈（2，+∞），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=-2時，在（0，+∞）上f^′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)；
（3）當(dāng)a＜-2時，若x∈（0，2），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
若x∈（2，-a），f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
若x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a使得對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立，
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，只要

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a，即：f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁．
令g（x）=f（x）-ax，只要 g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)即可．
又函數(shù)g(x)=

1

2

x2-2alnx-2x．
考查函數(shù)g′(x)=x-

2a

x

-2=

x2-2x-2a

x

=

(x-1)2-1-2a

x

要使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要-1-2a≥0，即a≤-

1

2

，
故存在實數(shù)a∈(-∞，-

1

2

]，對任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，屬難題．