Question

7．已知P（m，n）（m＞0，n＞0）是f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²-x+$\frac{185}{6}$在點(diǎn)x=5處的切線上一點(diǎn)，則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值是（　�。�

• A． $\frac{9}{10}$
• B． $\frac{19}{21}$
• C． $\frac{10}{11}$
• D． $\frac{11}{10}$

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，得到m+n=10，再由$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）×$\frac{1}{10}$×（m+n）=$\frac{1}{10}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$），根據(jù)基本不等式即可求出答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²-x+$\frac{185}{6}$，
∴f′（x）=x²-5x-1，
∴f′（5）=5²-5×5-1=-1，
∵f（5）=$\frac{1}{3}$×5³-$\frac{5}{2}$×5²-5+$\frac{185}{6}$=5，
∴切線方程為y-5=-（x-5），即x+y=10，
∵P（m，n）（m＞0，n＞0）是f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²-x+$\frac{185}{6}$在點(diǎn)x=5處的切線上一點(diǎn)，
∴m+n=10，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）×$\frac{1}{10}$×（m+n）=$\frac{1}{10}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）≥$\frac{1}{10}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=$\frac{9}{10}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=$\frac{10}{3}$，n=$\frac{20}{3}$時(shí)取等號(hào)，
故$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值是$\frac{9}{10}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．