Question

已知不等式|y+4|-|y|≤2^x+

a

2x

對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立，則常數(shù)a的最小值為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：令f（y）=|y+4|-|y|，利用絕對(duì)值不等式可得|y+4|-|y|≤|y+4-y|=4，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2^x+

a

2x

≥f（y）_max=4，令g（x）=-（2^x）²+4×2^x，則a≥g（x）_max=4，從而可得答案．

解答：解：令f（y）=|y+4|-|y|，
則f（y）≤|y+4-y|=4，
即f（y）_max=4．
∵不等式|y+4|-|y|≤2^x+

a

2x

對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立，
∴2^x+

a

2x

≥f（y）_max=4，
∴a≥-（2^x）²+4×2^x=-（2^x-2）²+4恒成立；
令g（x）=-（2^x）²+4×2^x，
則a≥g（x）_max=4，
∴常數(shù)a的最小值為4，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，著重考查化歸思想與構(gòu)造函數(shù)思想，突出恒成立問(wèn)題的考查，屬于中檔題．