【題目】如圖,已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,是橢圓上一點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為,,是橢圓上異于的任意一點(diǎn),軸,為垂足,為線(xiàn)段的中點(diǎn),直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn),為線(xiàn)段的中點(diǎn).
①求證:;
②若的面積為,求的值;
【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析;②
【解析】
(1)設(shè)橢圓方程為,由題意,得,再由是橢圓上的一個(gè)點(diǎn),即可求出橢圓方程;
(2)根據(jù)題意,求出直線(xiàn)AB的方程、點(diǎn)M,C,N的坐標(biāo),計(jì)算,可得,再利用,結(jié)合橢圓方程,求解可得結(jié)果.
(1)設(shè)橢圓方程為,
由題意,得.因?yàn)?/span>,所以.
又是橢圓上的一個(gè)點(diǎn),所以,
解得或(舍去),
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)①解:因?yàn)?/span>,,則,且.
因?yàn)?/span>為線(xiàn)段中點(diǎn),所以.
又,所以直線(xiàn)的方程為.
因?yàn)?/span>,∴
令,得,
又,為線(xiàn)段的中點(diǎn),有,
所以.
因此,
.
所以.
②由①知,.
因?yàn)?/span>,
所以在中,,
因此,從而有,
解得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率,橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn).在軸上是否存在點(diǎn),使得且,若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線(xiàn)與函數(shù)()的圖象相交,將其中三個(gè)相鄰交點(diǎn)從左到右依次記為A,B,C,且滿(mǎn)足有下列結(jié)論:
①n的值可能為2
②當(dāng),且時(shí),的圖象可能關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)
③當(dāng)時(shí),有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)ω,使得在上單調(diào)遞增;
④不等式恒成立
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為( )
A.③B.①②C.②④D.③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,圖(a)、圖(b)是邊長(zhǎng)為的兩塊正方形鋼板,現(xiàn)要將圖(a)裁剪焊接成一個(gè)正四棱柱,將圖(b)裁剪焊接成一個(gè)正四棱錐,使它們的全面積都等于這個(gè)正方形的面積(不計(jì)焊接縫的面積).
(1)將裁剪方法用虛線(xiàn)標(biāo)示在圖中,并作簡(jiǎn)要說(shuō)明;
(2)比較所制成的正四棱柱和正四棱錐體積大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|),y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng),且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列,則函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間為( )
A.[,]B.[,]C.[,]D.[,]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,為圓的直徑,點(diǎn),在圓上,,矩形所在平面和圓所在平面互相垂直,已知,,
(1)求證:平面平面
(2)若幾何體和幾何體的體積分別為和,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,由經(jīng)過(guò)伸縮變換得到曲線(xiàn),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程以及曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,與曲線(xiàn)、曲線(xiàn)在第一象限交于、,且,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C:經(jīng)過(guò)點(diǎn),橢圓C的離心率為.,是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上任意點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)M為的中點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),過(guò)M且平行于OP的直線(xiàn)l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù),使得;若存在,請(qǐng)求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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