Question

如圖，正方形 ACD E所在的平面與平面 A BC垂直，M是C E和 AD的交點(diǎn)，AC⊥BC，且 AC=BC．
（Ⅰ）求證：A M⊥平面 E BC；
（Ⅱ）求二面角 A-E B-C的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：幾何法：
（Ⅰ）由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，由此能證明AM⊥平面EBC．
（Ⅱ）過A作AH⊥EB于H，連結(jié)HM，由已知得∠AHM是二面角A-EB-C的平面角，由此能求出二面角A-EB-C的大�。�
向量法：
（Ⅰ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過A點(diǎn)平行于BC的直線為x軸，分別以直線AC和AE為y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用向量法能證明AM⊥平面EBC．
（2）求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量，利用向量法能求出二面角A-EB-C的大�。�

解答： （本小題滿分12分）
幾何法：
（Ⅰ）證明：∵四邊形ACDE是正方形，∴AM⊥EC，
又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面EAC，…（3分）
∵BC?平面EAC，∴BC⊥AM，
又∵EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．…（6分）
（Ⅱ）解：過A作AH⊥EB于H，連結(jié)HM，
∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM，
∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角，…（8分）
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，
在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH，
設(shè)EA=AC=BC=2a，得，AB=2

2

a，EB=2

3

a，∴AH=

AE•AB

EB

=

2 2 a

3

，
∴sin∠AHM=

AM

AH

=

3

2

，∴∠AHM=60°．
∴二面角A-EB-C等于60°．…（12分）
向量法：
（Ⅰ）證明：∵四邊形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，
∵平面ACDE⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，…（2分）
∴以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過A點(diǎn)平行于BC的直線為x軸，
分別以直線AC和AE為y軸和z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)EA=AC=BC=2，則A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
M是正方形ACDE的對角線的交點(diǎn)，M（0，1，1），…（4分）

AM

=（0，1，1），

EC

=（0，2，-2），

CB

=(2，0，0)，
∴

AM

•

EC

=0，

AM

•

CB

=0，∴AM⊥EC，AM⊥BC，
又EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．…（6分）
（2）設(shè)平面EAB的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

•

AE

=0，

n

•

AB

=0，
∴

2z=0 2x+2y=0

，取y=-1，則x=1，則

n

=（1，-1，0），…（10分）
又∵

AM

=(0，1，1)為平面EBC的一個(gè)法向量，
∴cos＜

n

，

AM

＞=

n • AM

| n |•| AM |

=-

1

2

，
設(shè)二面角A-EB-C的平面角為θ，則cosθ=|cos＜

n

，

AM

＞|=

1

2

，∴θ=60°，
∴二面角A-EB-C等于60°．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．