Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=

an(an2+3)

3an2+1

，a₁=2，b_n=

an-1

an+1

（1）求{b_n}的通項公式；
（2）求證：當n≥3時，b₁+b₂+…+b_n＜

241

648

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,二項式定理

分析：（1）求出b_n+1，因式分解，得到b_n+1=b_n³，兩邊取3為底的對數(shù)，得到等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式，即可得到b_n；
（2）運用二項式定理，得到當n≥3，3^n-1=（1+2）^n-1=

C

0 n-1

+2C

1 n-1

+…+

2n-1C

n-1 n-1

＞2n，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，運用等比數(shù)列的求和公式，即可得證．

解答： （1）解：由于a_n+1=

an(an2+3)

3an2+1

，b_n=

an-1

an+1

，
則b_n+1=

an+1-1

an+1+1

=

an3-3an2+3an-1

an3+3an2+3an+1

=（

an-1

an+1

）³=b_n³，
由于b₁=

a1-1

a1+1

=

1

3

，
則log₃b_n+1=log₃b_n³=3log₃b_n，
即有{log₃b_n}為等比數(shù)列，即有l(wèi)og₃b_n=log₃

1

3

•3^n-1，
即有b_n=（

1

3

）^3n-1；
（2）證明：當n≥3，3^n-1=（1+2）^n-1=

C

0 n-1

+2C

1 n-1

+…+

2n-1C

n-1 n-1

＞2n，
則b_n=（

1

3

）^3n-1＜（

1

3

）²ⁿ（n≥3），
故當n≥3時，b₁+b₂+…+b_n＜

1

3

+

1

27

+（

1

3

）⁶+…+（

1

3

）²ⁿ
=

10

27

+

1 36 (1- 1 32n-4 )

1- 1 9

＜

10

27

+

1

648

=

241

648

．
即原不等式成立．

點評：本題考查數(shù)列通項公式的求法，考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查二項式定理及其運用，屬于中檔題．