【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,∠ACB=90°,BB1=3,AC=BC=2,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),F(xiàn)為BB1上一點(diǎn),且 = .
(1)求證:平面CDF⊥平面A1C1E;
(2)求二面角C1﹣CD﹣F的余弦值.
【答案】
(1)證明:以C為原點(diǎn),分別以CA、CB、CC1所在直線(xiàn)為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,
∵BB1=3,AC=BC=2,D,E分別為AB,BC的中點(diǎn), = .
∴C(0,0,0),D(1,1,0),F(xiàn)(0,2, ),E(0,1,0),A1(2,0,3),C1(0,0,3).
, , .
設(shè)平面CDF的一個(gè)法向量為 ,
則 ,取y=﹣1,得 ;
再平面A1C1E的一個(gè)法向量為 ,
則 ,取z=1,得 .
∵ ,
∴ ,則平面CDF⊥平面A1C1E;
(2)解:由(1)知,平面CDF的一個(gè)法向量 ,
又平面C1CD的一個(gè)法向量 ,
∴cos< >= = ,
∵二面角C1﹣CD﹣F為銳角,
∴二面角C1﹣CD﹣F的余弦值為 .
【解析】(1)以C為原點(diǎn),分別以CA、CB、CC1所在直線(xiàn)為x、y、z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系,再由已知求出C,D,F(xiàn),E,A1 , C1的坐標(biāo),得到平面CDF與平面A1C1E的一個(gè)法向量,由兩法向量垂直可得平面CDF⊥平面A1C1E;(2)由(1)知,平面CDF的一個(gè)法向量 ,又平面C1CD的一個(gè)法向量 ,由兩法向量所成角的余弦值求得二面角C1﹣CD﹣F的大。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的平面與平面垂直的判定,需要了解一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn),則這兩個(gè)平面垂直才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】據(jù)統(tǒng)計(jì),僅在北京地區(qū)每天就有500萬(wàn)單快遞等待派送,近5萬(wàn)多名快遞員奔跑在一線(xiàn),快遞網(wǎng)點(diǎn)人員流動(dòng)性也較強(qiáng),各快遞公司需要經(jīng)常招聘快遞員,保證業(yè)務(wù)的正常開(kāi)展.下面是50天內(nèi)甲、乙兩家快遞公司的快遞員的每天送貨單數(shù)統(tǒng)計(jì)表:
送貨單數(shù) | 30 | 40 | 50 | 60 | |
天數(shù) | 甲 | 10 | 10 | 20 | 10 |
乙 | 5 | 15 | 25 | 5 |
已知這兩家快遞公司的快遞員的日工資方案分別為:甲公司規(guī)定底薪元,每單抽成元;乙公司規(guī)定底薪元,每日前單無(wú)抽成,超過(guò)單的部分每單抽成元.
(1)分別求甲、乙快遞公司的快遞員的日工資(單位:元)與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若將頻率視為概率,回答下列問(wèn)題:
①記甲快遞公司的快遞員的日工資為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
②小趙擬到甲、乙兩家快遞公司中的一家應(yīng)聘快遞員的工作,如果僅從日收入的角度考慮,請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)M(﹣3,0),點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸的正半軸上,點(diǎn)N在直線(xiàn)PQ上,且滿(mǎn)足 . (Ⅰ)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)N的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn) 做直線(xiàn)l與軌跡C交于A,B兩點(diǎn),若在x軸上存在一點(diǎn)E(x0 , 0),使得△AEB是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的直角三角形,求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,…,24這24個(gè)整數(shù)中等可能隨機(jī)產(chǎn)生 (I)分別求出按程序框圖正確編程運(yùn)行時(shí)輸出y的值為i的概率pi(i=1,2,3);
(II)甲乙兩同學(xué)依據(jù)自己對(duì)程序框圖的理解,各自編程寫(xiě)出程序重復(fù)運(yùn)行n次后,統(tǒng)計(jì)記錄輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數(shù),以下是甲乙所作頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表的部分?jǐn)?shù)據(jù).
甲的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)圖(部分)
運(yùn)行次數(shù)n | 輸出y的值為1的頻數(shù) | 輸出y的值為2的頻數(shù) | 輸出y的值為3的頻數(shù) |
30 | 14 | 6 | 10 |
… | … | … | … |
2100 | 1027 | 376 | 697 |
乙的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)圖(部分)
運(yùn)行次數(shù)n | 輸出y的值為1的頻數(shù) | 輸出y的值為2的頻數(shù) | 輸出y的值為3的頻數(shù) |
30 | 12 | 11 | 7 |
… | … | … | … |
2100 | 1051 | 696 | 353 |
當(dāng)n=2100時(shí),根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫(xiě)出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分?jǐn)?shù)表示),并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編程序符合要求的可能系較大;
(III)將按程序擺圖正確編寫(xiě)的程序運(yùn)行3次,求輸出y的值為2的次數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}和正項(xiàng)等差數(shù)列{bn}中,已知a1 , a2017的等比中項(xiàng)與b1 , b2017的等差中項(xiàng)相等,且 + ≤1,當(dāng)a1009取得最小值時(shí),等差數(shù)列{bn}的公差d的取值集合為( )
A.{d|d≥ }
B.{d|0<d< }
C.{ }
D.{d|d≥ }
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給定命題p:“若a2017>﹣1,則a>﹣1”;命題q:“x∈R,x2tanx2>0”,則下列命題中,真命題的是( )
A.p∨q
B.(¬p)∨q
C.(¬p)∧q
D.(¬p)∧(¬q)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ﹣2sinθ.
(1)求C的參數(shù)方程;
(2)若點(diǎn)A在圓C上,點(diǎn)B(3,0),求AB中點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離平方的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是求樣本x1、x2、…x10平均數(shù) 的程序框圖,圖中空白框中應(yīng)填入的內(nèi)容為( )
A.S=S+xn
B.S=S+
C.S=S+n
D.S=S+
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的多面體中,ABCD是平行四邊形,BDEF是矩形,ED⊥面ABCD,∠ABD= ,AB=2AD.
(Ⅰ)求證:平面BDEF⊥平面ADE;
(Ⅱ)若ED=BD,求AF與平面AEC所成角的正弦值.
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