Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=-4時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，1）上無極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，1）上無極值點(diǎn)，等價(jià)于f′(x)=2x+2+

a

x

≥0對(duì)x∈（0，1）恒成立或f′(x)=2x+2+

a

x

≤0對(duì)x∈（0，1）恒成立，分離參數(shù)，可求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意，f′(x)=2x+2-

4

x

，由函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
令f′（x）＞0，可得x＞1；f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴函數(shù)在x=1處取得極小值f（1）=3；
（Ⅱ）由題意，f′(x)=2x+2+

a

x

≥0對(duì)x∈（0，1）恒成立或f′(x)=2x+2+

a

x

≤0對(duì)x∈（0，1）恒成立，
即a≥-2x（x+1）x∈（0，1）或a≤-2x（x+1）x∈（0，1）
所以a≥0或a≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．