Question

如圖所示的曲線C是由部分拋物線C 1：y=x2-1（|x|≥1）和曲線C₂：x2+

y2

m

=1（y≤0，m＞0）“合成”的，直線l與曲線C₁相切于點(diǎn)M，與曲線C₂相切于點(diǎn)N，記點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t（t＞1），其中A（-1，0），B（1，0）．
（1）當(dāng)t=

2

時(shí)，求m的值和點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，∠MAB=∠NAB？并求出此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）依題意可表示出切線的方程整理后代入C₂的方程整理求得m的關(guān)系式，利用判別式等于0，即可求得m的值，從而可得N的坐標(biāo)；
（2）題意可表示出切線的方程整理后代入C₂的方程整理求得m的關(guān)系式，利用判別式等于0，即可求得m=0或m和t的關(guān)系式，表示出直線AM和AN的斜率，若∠MAB=∠NAB，則k_AM=-k_AN，求得t，進(jìn)而根據(jù)中m和t的關(guān)系式，求得m，進(jìn)而求得M，N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求得MN所在直線的方程．

解答：解：（1）切線l：y-1=2

2

（x-

2

），即y=2

2

x-3，
代入x2+

y2

m

=1，化簡(jiǎn)并整理得（m+8）x²-12

2

x+9-m=0，
由△=（12

2

）²+4（m+8）（9-m）=4m（m-1）=0
∵m＞0，∴m=1．
此時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

2 2

3

，-

1

3

）．
（2）由題意可知M（t，t²-1），切線l的方程表達(dá)式為y-（t²-1）=2t（x-t），即y=2tx-t²-1，
與x2+

y2

m

=1聯(lián)立方程組，整理得（m+4t²）x²-4t（t²+1）x+（t²+1）²-m=0，（*）
由△=16t²（t²+1）²+4（m+4t²）[m-（t²+1）²]=4m[m-（t²-1）²]=0
得m=0（舍去）或m=（t²-1）²．
此時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

2t

t2+1

，-

(t2-1)2

t2+1

）．
∵A（-1，0），M（t，t²-1），∴kAM=

t2-1

t+1

=t-1，kAN=

- (t2-1)2 t2+1

2t t2+1 +1

=-（t-1）²，
若∠MAB=∠NAB，則k_AM=-k_AN，即t=2，此時(shí)m=9，
故當(dāng)實(shí)數(shù)m=9時(shí)，∠MAB=∠NAB．
此時(shí)k_AM=1，k_AN=-1，∠MAB=∠NAB=45°，
∴M（2，3），N（

4

5

，-

9

5

），
∴MN所在直線的方程為y=4x-5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生分析問(wèn)題的能力，推理計(jì)算能力，知識(shí)的綜合問(wèn)題．