設(shè)函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求實數(shù)a的取值范圍.
(-∞,1]
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù):g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1,
(1)當(dāng)a≤1時,對所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),
又g(0)=0,所以對x≥0,都有g(x)≥g(0),
即當(dāng)a≤1時,對于所有x≥0,都有 f(x)≥ax.
(2)當(dāng)a>1時,對于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是減函數(shù),
又g(0)=0,所以對0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),
即當(dāng)a>1時,不是對所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
綜上,a的取值范圍是(-∞,1].
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2002年全國各省市高考模擬試題匯編 題型:044
設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)(a>0,且a≠1),當(dāng)點P(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖象上的點時,點Q(3x,)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點.
(Ⅰ)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式;
(Ⅱ)求不等式g(x)≤f(x)的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:廣州市2008屆高中教材變式題2:二次函數(shù) 題型:022
設(shè)函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c,給出下列4個命題:
①當(dāng)c=0時,y=f(x)是奇函數(shù);
②當(dāng)b=0,c>0時,方程f(x)=0只有一個實根;
③y=f(x)的圖象關(guān)于點(0,c)對稱;
④方程f(x)=0至多有兩個實根.
上述命題中正確的序號為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:天津市耀華中學(xué)2012屆高三寒假驗收考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:013
設(shè)函數(shù)f(x)=x|x|+bx+c,則下列命題中正確命題的序號有
①當(dāng)b>0時,函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù);
②當(dāng)b<0時,函數(shù)f(x)在R上有最小值;
③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(0,c)對稱;
④方程f(x)=0可能有三個實數(shù)根.
A.①③
B.①④
C.①②④
D.①③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:廣東省云浮羅定中學(xué)2012屆高三11月月考數(shù)學(xué)理科試題 題型:044
已知二次函數(shù)y=g(x)的圖象經(jīng)過點O(0,0)、A(m,0)與點P(m+1,m+1),設(shè)函數(shù)f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b處取到極值,其中m>n>0,b<a.
(1)求g(x)的二次項系數(shù)k的值;
(2)比較a,b,m,n的大小(要求按從小到大排列);
(3)若m+n≤2,且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線y=f(x)均相切,求y=f(x).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年寧夏高三第五次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)函數(shù)f(x)=,D是由x軸和曲線y=f(x)及該曲線在點(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域,則z=x-2y在D上的最大值為________.
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