已知圓C:(x+1)2+(y-2)2=2
(1)若圓C的切線在x軸和y軸的截距相等,求此切線的方程
(2)從圓外一點P(x0,y0)向該圓引一條切線,切點為M,O為坐標(biāo)原點,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取最小值時點P的坐標(biāo).
分析:(1)當(dāng)截距不為零時:設(shè)切線方程為
+=1,根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑求出a的值,即得切線方程,
當(dāng)截距等于零時:設(shè)切線方程為y=kx(k≠0),同理可得
k=2±,從而得到圓的所有的切線方程.
(2)有切線的性質(zhì)可得|PM|
2=|PC|
2-|CM|
2,又|PM|=|PO|,可得2x
0-4y
0+3=0.動點P在直線2x-4y+3=0上,|PM|的最小值就是|PO|的最小值,過點O作直線2x-4y+3=0的垂線,垂足為P,垂足坐標(biāo)即為所求.
解答:解:(1)當(dāng)截距不為零時:設(shè)切線方程為
+=1,即:x+y=a(a≠0),
圓C為:(x+1)
2+(y-2)
2=2,圓心為C(-1,2),到切線距離等于圓的半徑
所以
=,a=-1,3.
當(dāng)截距等于零時:設(shè)切線方程為y=kx(k≠0),同理可得
k=2±.
所以所求切線方程為:x+y+1=0,或x+y-3=0,或
y=(2+)x或
y=(2-)x.
(2)∵PM⊥CM,∴|PM|
2=|PC|
2-|CM|
2,又|PM|=|PO|,
∴(x
0+1)
2+(y
0-2)
2-2=x
02+y
02,整理得:2x
0-4y
0+3=0.
即動點P在直線2x-4y+3=0上,所以,|PM|的最小值就是|PO|的最小值,
過點O作直線2x-4y+3=0的垂線,垂足為P,k
OP=-2
解方程組
,得
,所以點P坐標(biāo)為
(-,).
點評:本題考查用點斜式、斜截式求直線方程的方法,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,點到直線的距離公式,判斷
P在直線2x-4y+3=0上,|PM|的最小值就是|PO|的最小值,是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.