Question

已知函數(shù)y=f（x）對任意的x∈（-

π

2

，

π

2

）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），則下列不等式成立的是（　　）

• A、

  2

  f(-

  π

  3

  )＜f(-

  π

  4

  )
• B、

  2

  f(

  π

  3

  )＜f(

  π

  4

  )
• C、f(0)＞

  2

  f(

  π

  4

  )
• D、f(0)＞2f(

  π

  3

  )

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

cosx

，求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=

f(x)

cosx

，
則g′（x）=

f′(x)cosx-f(x)(cosx)′

cos2x

=

f′(x)cosx+f(x)sinx

cos2x

∵對任意的x∈（-

π

2

，

π

2

）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在x∈（-

π

2

，

π

2

）單調(diào)遞增，
則g（-

π

3

）＜g（-

π

4

），即

f(- π 3 )

cos(- π 3 )

＜

f(- π 4 )

cos(- π 4 )

，
∴

2

f（-

π

3

）＜f（-

π

4

），故A正確．
∵g（

π

3

）＞g（

π

4

），即

f( π 3 )

cos π 3

＞

f( π 4 )

cos π 4

，
∴

2

f（

π

3

）＞f（

π

4

），故B錯誤，
∵g（0）＜g（

π

4

），即

f(0)

cos0

＜

f( π 4 )

cos π 4

，
∴f（0）＜

2

f（

π

4

），故C錯誤，
∵g（0）＜g（

π

3

），即

f(0)

cos0

＜

f( π 3 )

cos π 3

，
∴f（0）＜2f（

π

3

）．故D錯誤．
故選：A．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用，利用條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，有一點的難度．