動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F(1,0)的距離和它到直線l:x=-1的距離相等,記點(diǎn)P的軌跡為曲線C1.圓C2的圓心T是曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),圓C2與y軸交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=4.
(1)求曲線C1的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A(a,0)(a>2),若點(diǎn)A到點(diǎn)T的最短距離為a-1,試判斷直線l與圓C2的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
分析:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),依題意,得
(x-1)2+y2
=|x+1|
,由此能得到曲線C1的方程.
(2)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x0,y0),圓C2的半徑為r,點(diǎn)T是拋物線C1:y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),y02=4x0(x0≥0).|AT|=
(x0-a)2+(y0-0)2
=
x
2
0
-2ax0+a2+4x0
=
[x0-(a-2)]2+4a-4

∵a>2,∴a-2>0,則當(dāng)x0=a-2時(shí),|AT|取得最小值為2
a-1
,由此入手能夠判斷判斷直線l與圓C2的位置關(guān)系.
解答:解:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),依題意,得|PF|=|x+1|,
(x-1)2+y2
=|x+1|
,(2分)
化簡(jiǎn)得:y2=4x,
∴曲線C1的方程為y2=4x.(4分)
(2分)
∴曲線C1的方程為y2=4x.(4分)
(2)設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x0,y0),圓C2的半徑為r,
∵點(diǎn)T是拋物線C1:y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),
∴y02=4x0(x0≥0).
|AT|=
(x0-a)2+(y0-0)2
(6分)
=
x
2
0
-2ax0+a2+4x0
=
[x0-(a-2)]2+4a-4

∵a>2,∴a-2>0,則當(dāng)x0=a-2時(shí),|AT|取得最小值為2
a-1
,(8分)
依題意得2
a-1
=a-1,
兩邊平方得a2-6a+5=0,
解得a=5或a=1(不合題意,舍去).(10分)
∴x0=a-2=3,y02=4x0=12,即y0=±2
3

∴圓C2的圓心T的坐標(biāo)為(3,±2
3
).
∵圓C2與y軸交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=4,
|MN|=2
r2-
x
2
0
=4

r=
4+
x
2
0
=
13
.(12分)
∵點(diǎn)T到直線l的距離d=|x0+1|=4>
13
,
∴直線l與圓C2相離.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓的性質(zhì)和綜合應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意解答,合理進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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